Question

8．已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，且a_n+1=2a_n+λ（n∈N⁺，λ∈R）．
（1）試問數(shù)列{a_n+λ}是否為等比數(shù)列？若是，請(qǐng)求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；若不是，請(qǐng)說明理由；
（2）當(dāng)λ=1時(shí)，記b_n=$\frac{n}{{a}_{n}+1}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=2a_n+λ（n∈N⁺，λ∈R），變形為且a_n+1+λ=2（a_n+λ）；當(dāng)a_n+λ≠0時(shí)，λ≠-1時(shí)，$\frac{{a}_{n+1}+λ}{{a}_{n}+λ}$=2（常數(shù)），利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）當(dāng)λ=1時(shí)，a_n=2ⁿ-1．b_n=$\frac{n}{{a}_{n}+1}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：（1）由a_n+1=2a_n+λ（n∈N⁺，λ∈R），變形為且a_n+1+λ=2（a_n+λ），∵a₁=1，當(dāng)a₁+λ=0時(shí)，解得λ=-1，此時(shí)數(shù)列{a_n+λ}不是等比數(shù)列；
當(dāng)a_n+λ≠0時(shí)，λ≠-1時(shí)，$\frac{{a}_{n+1}+λ}{{a}_{n}+λ}$=2（常數(shù)），∴數(shù)列{a_n+λ}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1+λ，公比為2．∴a_n+λ=（1+λ）×2^n-1．
（2）當(dāng)λ=1時(shí)，a_n=2ⁿ-1．
b_n=$\frac{n}{{a}_{n}+1}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{2+n}{{2}^{n+1}}$，
∴S_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．