Question

8．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)為2，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若動(dòng)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（-2，0）與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OPQ面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意列關(guān)于a，b，c的方程組，求解方程組可得a，b的值，則橢圓方程可求；
（2）由題意可知l與x軸不重合，設(shè)l的方程為x=my-2，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程，化為關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得P，Q的縱坐標(biāo)的和與積，代入三角形面積公式，換元后利用基本不等式求最值．

解答 解：（1）由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{2b=2}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$．
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）∵l與x軸不重合，設(shè)l的方程為x=my-2，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my-2}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（m²+2）y²-4my+2=0．
∴${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{4m}{{m}^{2}+2}，{y}_{1}{y}_{2}=\frac{2}{{m}^{2}+2}$．
由△=16m²-8（m²+2）＞0，解得$m＜-\sqrt{2}$或m$＞\sqrt{2}$．
∵$|{y}_{1}-{y}_{2}|=\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{{m}^{2}-2}}{{m}^{2}+2}$，
∴${S}_{△OPQ}=\frac{1}{2}|ON||{y}_{1}-{y}_{2}|=\frac{2\sqrt{2}\sqrt{{m}^{2}-2}}{{m}^{2}+2}$．
令t=$\sqrt{{m}^{2}-2}＞0$，則${S}_{△OPQ}=\frac{2\sqrt{2}t}{{t}^{2}+4}=\frac{2\sqrt{2}}{t+\frac{4}{t}}≤\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{t•\frac{4}{t}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴當(dāng)且僅當(dāng)t=$\frac{4}{t}$，即t=2時(shí)取等號(hào)，此時(shí)m=$±\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了直線(xiàn)與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．