Question

20．若函數(shù)f（x）滿足：在定義域D內(nèi)存在實數(shù)x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，則稱函數(shù)f（x）為“1的飽和函數(shù)”．給出下列四個函數(shù)：①f（x）=2^x；②f（x）=$\frac{1}{x}$；③f（x）=lg（x²+2）；④f（x）=cosπx．
其中是“1的飽和函數(shù)”的所有函數(shù)的序號為①④．

Answer 1

分析 利用“1的飽和函數(shù)”的定義構(gòu)造方程，判斷方程是否有解，可得結(jié)論．

解答 解：①f（x）=2^x，D=R，則存在實數(shù)x₀，使得2^x₀+1=2^x₀+2，解得x₀=1，
因為此方程有實數(shù)解，
所以函數(shù)f（x）=2^x是“1的飽和函數(shù)”．
②f（x）=$\frac{1}{x}$，D=（-∞，0）∪（0，+∞），
若f（x）=$\frac{1}{x}$是“1的飽和函數(shù)”，
則存在非零實數(shù)x₀，使得$\frac{1}{{x}_{0}+1}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$+1，
即x₀²+x₀+1=0，
因為此方程無實數(shù)解，
所以函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$不是“1的飽和函數(shù)”．
③f（x）=lg（x²+2），若存在x，使f（x+1）=f（x）+f（1）
則lg[（x+1）²+2]=lg（x²+2）+lg3
即2x²-2x+3=0，
∵△=4-24=-20＜0，故方程無解．
即f（x）=lg（x²+2）不是“1的飽和函數(shù)”．
④f（x）=cosπx，存在x=$\frac{1}{3}$，使得f（x+1）=cos$\frac{4}{3}$π=-$\frac{1}{2}$=f（x）+f（1）=cos$\frac{1}{3}$π+cosπ=$\frac{1}{2}-1$，
即f（x）=cosπx是“1的飽和函數(shù)”．
故答案：①④

點評 本題考查“1的飽和函數(shù)”的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時要注意函數(shù)的性質(zhì)的合理運用．