Question

17．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），在極坐標(biāo)系中，圓C的方程為ρ=2$\sqrt{5}$sinθ．
（1）求圓C的圓心到直線l的距離；
（2）設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A、B，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，$\sqrt{5}$），求|$\frac{1}{|PA|}$-$\frac{1}{|PB|}$|

Answer 1

分析 （1）將參數(shù)方程的兩式相加得出直線l的普通方程，求出圓的直角坐標(biāo)方程，得出圓心坐標(biāo)，代入點(diǎn)到直線的距離公式即可；
（2）把直線參數(shù)方程代入圓的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和參數(shù)的幾何意義解出．

解答 解：（1）圓C的普通方程為x²+y²-2$\sqrt{5}$y=0，化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：x²+（y-$\sqrt{5}$）²=5．
∴圓C的圓心為C（0，$\sqrt{5}$），
直線l的普通方程為x+y=3+$\sqrt{5}$，化為一般式方程得：x+y-3-$\sqrt{5}$=0．
∴圓心C（0，$\sqrt{5}$）到直線l的距離d=$\frac{3}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
（2）把直線l的參數(shù)方程代入圓C的普通方程得：t²-3$\sqrt{2}$t+4=0．
∴t₁+t₂=3$\sqrt{2}$，t₁t₂=-4．
∴|$\frac{1}{|PA|}$-$\frac{1}{|PB|}$|=|$\frac{1}{{|t}_{1}|}-\frac{1}{|{t}_{2}|}$|=|$\frac{|{t}_{2}|-|{t}_{1}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$|=$\frac{|{t}_{1}+{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)的幾何意義及應(yīng)用，屬于中檔題．