Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的方程為.以坐標(biāo)原點為極點， 軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）寫出曲線的參數(shù)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點在曲線上，點在曲線上，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）的參數(shù)方程為 (為參數(shù))， 的直角坐標(biāo)方程為；（2）．

【解析】試題分析：

(Ⅰ)利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)、參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化關(guān)系可得曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），的直角坐標(biāo)方程為.

(Ⅱ)曲線是以 為圓心， 為半徑的圓.設(shè)出點的的坐標(biāo)，結(jié)合題意得到三角函數(shù)式： .結(jié)合二次型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)可得.

試題解析：

（Ⅰ）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

的直角坐標(biāo)方程為，即.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲線是以 為圓心， 為半徑的圓.

設(shè)，

則

.

當(dāng)時， 取得最大值.

又因為，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線，且在線段上時，等號成立.

所以.