Question

16．已知A、B為雙曲線E的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，過點(diǎn)M作MN⊥x軸，得到Rt△BNM，通過求解直角三角形得到M坐標(biāo)，代入雙曲線方程可得a與b的關(guān)系，結(jié)合a，b，c的關(guān)系和離心率公式，求得雙曲線的離心率．

解答 解：設(shè)雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
如圖所示，|AB|=|BM|，∠ABM=120°，
過點(diǎn)M作MN⊥x軸，垂足為N，則∠MBN=60°，
在Rt△BMN中，|BM|=|AB|=2a，∠MBN=60°，
即有|BN|=2acos60°=a，|MN|=2asin60°=$\sqrt{3}$a，
故點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（2a，$\sqrt{3}$a），
代入雙曲線方程得$\frac{4{a}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{3{a}^{2}}{^{2}}$=1，
即為a²=b²，即c²=2a²，
則e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)：離心率，注意運(yùn)用點(diǎn)滿足雙曲線的方程，考查運(yùn)算能力，是中檔題．