Question

6．在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C所對的邊，且滿足a=3bcosC．
（Ⅰ）求$\frac{tanC}{tanB}$的值；
（Ⅱ）若a=3，tanA=3，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （I）由a=3bcosC，利用正弦定理可得：sinA=3sinBcosC，可得sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=3sinBcosC，化簡即可得出．
（II）tanA=3=-tan（B+C）=-$\frac{tanB+tanC}{1-tanBtanC}$，又$\frac{tanC}{tanB}$=2．解得tanB，tanC，A∈（0，π），sinA=$\frac{3}{\sqrt{10}}$，同理可得：sinB，sinC．由正弦定理可得：解得b，c．利用S_△ABC=$\frac{1}{2}bc$sinA即可得出．

解答 解：（I）在△ABC中，由a=3bcosC，利用正弦定理可得：sinA=3sinBcosC，
∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=3sinBcosC，
∴tanB+tanC=3tanB，∴$\frac{tanC}{tanB}$=2．
（II）∵tanA=3=-tan（B+C）=-$\frac{tanB+tanC}{1-tanBtanC}$，又$\frac{tanC}{tanB}$=2．解得tanB=1，tanC=2，
∵A∈（0，π），∴sinA=$\frac{3}{\sqrt{10}}$，同理可得：sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，sinC=$\frac{2}{\sqrt{5}}$．
由正弦定理可得：$\frac{3}{\frac{3}{\sqrt{10}}}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{c}{\frac{2}{\sqrt{5}}}$，解得b=$\sqrt{5}$，c=2$\sqrt{2}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bc$sinA=$\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{2}$×$\frac{3}{\sqrt{10}}$=3．

點評 本題考查了正弦定理、和差化積、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．