Question

14．已知拋物線C：y²=4x，過拋物線C的焦點(diǎn)F的直線l0與C交于A，B（A在x軸上方）兩點(diǎn)，且|AF|=3|BF|，則△OAB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為（　�。�

• A． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則S=$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁-y₂|．直線為x=my+1代入y²=4x得：y²=4（my+1），求出m，由此能求出△OAB的面積．

解答 解：拋物線焦點(diǎn)為（1，0），直線l方程為x=my+1，
代入y²=4x得：y²=4（my+1），即y²-4my-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=4m①，y₁y₂=-4②，
∵|AF|=3|BF|，
∴x₁+1=3（x₂+1），
∴my₁+2=3（my₂+2），
∴my₁=3my₂+4③，
由①②③可得m=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{16×\frac{1}{3}+16}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴S=$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$×$\frac{8\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系．在涉及焦點(diǎn)弦的問題時常需要把直線與拋物線方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理設(shè)而不求，進(jìn)而利用弦長公式求得問題的答案．