15.如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面是邊長為a的正方形,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,在側(cè)面PBC內(nèi),有BE⊥PC于E,且BE=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$a.
(1)求證:PB⊥BC;
(2)試在AB上找一點F,使EF∥平面PAD.

分析 (1)欲證明PB⊥BC,只需推知BC⊥平面PAB即可;
(2)在平面PCD內(nèi),過E作EG∥CD交PD于AG,連接AG,在AB上取點F,使AF=EG.由BE=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$a,能求出AF=$\frac{2}{3}$a時,EF∥平面PAD.

解答 (1)證明:∵PA⊥面ABCD,
∴PA⊥BC,
又BC⊥AB,
∴BC⊥面PAB,
∴PB⊥BC.
(2)在平面PCD內(nèi),過E作EG∥CD交PD于AG,連接AG,在AB上取點F,使AF=EG,
∵EG∥CD∥AF,EG=AF,
∴四邊形FEGA為平行四邊形,∴FE∥AG.
又AG?平面PAD,F(xiàn)E?平面PAD,
∴EF∥平面PAD,
∴F即為所示的點.
∵PB⊥BC,
∴PC2=BC2+PB2=BC2+AB2+PA2,
設(shè)PA=x,則$PC=\sqrt{2{a^2}+{x^2}}$,
由PB•BC=BE•PC得:$\sqrt{{a^2}+{x^2}}•a=\sqrt{2{a^2}+{x^2}}•\frac{{\sqrt{6}}}{3}a$,
∴x=a,即PA=a,
∴$PC=\sqrt{3}a$.
又$CE=\sqrt{{a^2}-{{({\frac{{\sqrt{6}}}{3}a})}^2}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}a$,
∴$\frac{PE}{PC}=\frac{2}{3}$,
∴$\frac{GE}{CD}=\frac{PE}{PC}=\frac{2}{3}$,
即$GE=\frac{2}{3}CD=\frac{2}{3}a$,
∴$AF=\frac{2}{3}a$,即$AF=\frac{2}{3}AB$.

點評 本題考查線面垂直的證明,考查線面平行的點的位置的確定與求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

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