已知f(x)=mx(m為常數(shù),m>0且m≠1).設f(a1),f(a2),…,f(an),…(n∈N*)是首項為m2,公比為m的等比數(shù)列.
(Ⅰ)求證:數(shù)列{an}是等差數(shù)列;
(Ⅱ)若bn=an•f(an),且數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,當m=2時,求Sn
分析:(I)根據(jù)等比數(shù)列的通項公式,可得f(an)=m2•mn-1=mn+1,從而可得an=n+1,進而可證數(shù)列{an}是以2為首項,1為公差的等差數(shù)列;
(II)當m=2時,bn=(n+1)•2n+1,利用錯位相減法可求數(shù)列的和;
解答:證明:(I)由題意f(an)=m2•mn-1=mn+1,
man=mn+1
∴an=n+1,(2分)
∴an+1-an=1,
∴數(shù)列{an}是以2為首項,1為公差的等差數(shù)列.
解:(II)由題意bn=an•f(an)=(n+1)•mn+1,
當m=2時,bn=(n+1)•2n+1
∴Sn=2•22+3•23+4•24+…+(n+1)•2n+1、
①式兩端同乘以2,得
2Sn=2•23+3•24+4•25+…+n•2n+1+(n+1)•2n+2、
②-①并整理,得
Sn=-2•22-23-24-25-…-2n+1+(n+1)•2n+2
=-22-(22+23+24+…+2n+1)+(n+1)•2n+2
=-22-
2 2(1-2n)
1-2
+(n+1)•2n+2
=-22+22(1-2n)+(n+1)•2n+2
=2n+2•n.
點評:本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,考查數(shù)列的通項與求和,考查恒成立問題,確定數(shù)列的通項,掌握求和公式是關鍵.
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(1)求證:數(shù)列{an}是等差數(shù)列;
(2)若bn=an f (an),且數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,當m=3時,求Sn;
(3)若cn=f(an)lgf (an),問是否存在m,使得數(shù)列{cn}中每一項恒不小于它后面的項?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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(1)求證:數(shù)列{an}是等差數(shù)列;
(2)若bn=an•f(an),且數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,當m=2時,求Sn;
(3)若cn=f(an)•lgf(an),問是否存在m,使得數(shù)列{cn}中每一項恒小于它后面的項?若存在,求出m的范圍;若不存在,請說明理由.

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(1)求證:數(shù)列{an}是等差數(shù)列;
(2)若bn=an f (an),且數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,當m=3時,求Sn;
(3)若cn=f(an)lgf (an),問是否存在m,使得數(shù)列{cn}中每一項恒不小于它后面的項?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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