已知f(x)=mx(m為常數(shù),m>0且m≠1).設(shè)f(a1),f(a2),…f(an)…(n∈N*?)是首項為m2,公比為m的等比數(shù)列.
(1)求證:數(shù)列{an}是等差數(shù)列;
(2)若bn=an•f(an),且數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,當m=2時,求Sn
(3)若cn=f(an)•lgf(an),問是否存在m,使得數(shù)列{cn}中每一項恒小于它后面的項?若存在,求出m的范圍;若不存在,請說明理由.
分析:(1)根據(jù)等比數(shù)列的通項公式,可得f(an)=m2•mn-1=mn+1,從而可得an=n+1,進而可證數(shù)列{an}是以2為首項,1為公差的等差數(shù)列;
(2)當m=2時,bn=(n+1)•2n+1,利用錯位相減法可求數(shù)列的和;
(3)求出數(shù)列{cn}的通項,要使cn<cn+1對一切n∈N*成立,即(n+1)•mn+1•lgm<(n+2)•mn+2•lgm,對一切n∈N*成立,對m進行分類討論,即可求得m的取值范圍.
解答:(1)證明:由題意,f(an)=m2•mn-1=mn+1,即man=mn+1
∴an=n+1,(2分)
∴an+1-an=1,∴數(shù)列{an}是以2為首項,1為公差的等差數(shù)列.(4分)
(2)解:由題意bn=an•f(an)=(n+1)•mn+1,
當m=2時,bn=(n+1)•2n+1
∴Sn=2•22+3•23+4•24+…+(n+1)•2n+1、伲6分)
①式兩端同乘以2,得
2Sn=2•23+3•24+4•25+…+n•2n+1+(n+1)•2n+2、
②-①并整理,得
Sn=-2•22-23-24-25-…-2n+1+(n+1)•2n+2
=-22-(22+23+24+…+2n+1)+(n+1)•2n+2
=-22-
22(1-2n)
1-2
+(n+1)•2n+2
=-22+22(1-2n)+(n+1)•2n+2=2n+2•n.(9分)
(3)解:由題意cn=f(an)•lgf(an)=mn+1•lgmn+1=(n+1)•mn+1•lgm,
要使cn<cn+1對一切n∈N*成立,
即(n+1)•mn+1•lgm<(n+2)•mn+2•lgm,對一切n∈N*成立,
①當m>1時,lgm>0,所以n+1<m(n+2)對一切n∈N*恒成立;(11分)
②當0<m<1時,lgm<0,所以等價使得
n+1
n+2
>m對一切n∈N*成立,
因為
n+1
n+2
=1-
1
n+2
的最小值為
2
3
,所以0<m<
2
3

綜上,當0<m<
2
3
或m>1時,數(shù)列{cn}中每一項恒小于它后面的項.(14分)
點評:本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,考查數(shù)列的通項與求和,考查恒成立問題,確定數(shù)列的通項,掌握求和公式是關(guān)鍵.
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