Question

已知橢圓C中心在原點(diǎn)O，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在x軸上，離心率e=

1

2

，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，

3

2

）．
（Ⅰ）橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）已知P、Q是橢圓C上的兩點(diǎn)，若OP⊥OQ，求證：

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

為定值．
（Ⅲ）當(dāng)

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

為（Ⅱ）所求定值時(shí)，試探究OP⊥OQ是否成立？并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系,橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：方程思想,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，用待定系數(shù)法求出a²、b²的值即可；
（Ⅱ）求出OP與OQ的斜率都存在時(shí)，對(duì)應(yīng)

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

的值是什么，再討論OP或OQ的斜率一個(gè)為0另一個(gè)不存在時(shí)，是否滿(mǎn)足條件即可；
（Ⅲ）

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

為定值時(shí)，OP⊥OQ不一定成立，討論直線(xiàn)OP或OQ的斜率一個(gè)為0另一個(gè)不存在時(shí)，以及直線(xiàn)OP或OQ的斜率都存在時(shí)，是否OP⊥OQ即可．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵離心率e=

c

a

=

1

2

，①
且橢圓C過(guò)點(diǎn)A（1，

3

2

），
∴

1

a2

+

9

4b2

=1，②
又c²=a²-b²，③
∴由①②③組成方程組，
解得a²=4，b²=3，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1；

（Ⅱ）證明：當(dāng)OP與OQ的斜率都存在時(shí)，
設(shè)直線(xiàn)OP的方程為y=kx（k≠0），則直線(xiàn)OQ的方程為y=-

1

k

x（k≠0），P（x，y）；
聯(lián)立方程組

y=kx x2 4 + y2 3 =1

，化為x²=

12

3+4k2

，
∴|OP|²=x²+y²=

12(1+k2)

3+4k2

，
同理可得|OQ|²=

12(1+k2)

3k2+4

，
∴

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

3+4k2

12(1+k2)

+

3k2+4

12(1+k2)

=

7

12

為定值；
當(dāng)直線(xiàn)OP或OQ的斜率一個(gè)為0而另一個(gè)不存在時(shí)，上式也成立，
∴

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

7

12

為定值．

（Ⅲ）當(dāng)

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

7

12

定值時(shí)，OP⊥OQ不一定成立，證明如下：
當(dāng)直線(xiàn)OP或OQ的斜率一個(gè)為0而另一個(gè)不存在時(shí)，
則

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

1

a2

+

1

b2

=

1

4

+

1

3

=

7

12

，滿(mǎn)足條件；
當(dāng)直線(xiàn)OP或OQ的斜率都存在時(shí)，
設(shè)直線(xiàn)OP的方程為y=kx（k≠0），則直線(xiàn)OQ的方程為y=k′x（k≠k′，k′≠0），P（x，y）；
聯(lián)立方程組

y=kx x2 4 + y2 3 =1

，化為x²=

12

3+4k2

，
∴|OP|²=x²+y²=

12(1+k2)

3+4k2

，
同理可得|OQ|²=

12(1+k′2)

3+4k′2

，
∴

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

3+4k2

12(1+k2)

+

3+4k′2

12(1+k′2)

=

7

12

；
化為（kk′）²=1，
∴kk′=±1；
∴OP⊥OQ或kk′=1，
因此OP⊥OQ不一定成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了直線(xiàn)與橢圓方程的綜合應(yīng)用問(wèn)題，考查了直線(xiàn)的垂直應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．