Question

8．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=3，且對任意的正整數(shù)n，都有S_n+1=λS_n+3ⁿ⁺¹，其中常數(shù)λ＞0．設(shè)b_n=$\frac{a_n}{3^n}$（n∈N^*）﹒
（1）若λ=3，求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）若λ≠1且λ≠3，設(shè)c_n=a_n+$\frac{2}{λ-3}×{3^n}$（n∈N^*），證明數(shù)列{c_n}是等比數(shù)列；
（3）若對任意的正整數(shù)n，都有b_n≤3，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）利用遞推關(guān)系、等比數(shù)列的定義及其通項公式即可得出；
（3）通過對λ分類討論，利用數(shù)列的通項公式及其不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 （1）解：∵${S_{n+1}}=λ{(lán)S_n}+{3^{n+1}}$，n∈N^*，
∴當(dāng)n≥2時，${S_n}=λ{(lán)S_{n-1}}+{3^n}$，
從而${a_{n+1}}=λ{(lán)a_n}+2•{3^n}$，n≥2，n∈N^*﹒
又在${S_{n+1}}=λ{(lán)S_n}+{3^{n+1}}$中，令n=1，可得${a_2}=λ{(lán)a_1}+2•{3^1}$，滿足上式，
∴${a_{n+1}}=λ{(lán)a_n}+2•{3^n}$，n∈N^*﹒
當(dāng)λ=3時，${a_{n+1}}=3{a_n}+2•{3^n}$，n∈N^*，
從而$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{3^{n+1}}}}=\frac{a_n}{3^n}+\frac{2}{3}$，即${b_{n+1}}-{b_n}=\frac{2}{3}$，
又b₁=1，所以數(shù)列{b_n}是首項為1，公差為$\frac{2}{3}$的等差數(shù)列，
∴${b_n}=\frac{2n+1}{3}$． 
（2）證明：當(dāng)λ＞0且λ≠3且λ≠1時，${c_n}={a_n}+\frac{2}{λ-3}×{3^n}=λ{(lán)a_{n-1}}+2×{3^{n-1}}+\frac{2}{λ-3}×{3^n}$=$λ{(lán)a_{n-1}}+\frac{2}{λ-3}×{3^{n-1}}（λ-3+3）=λ（{a_{n-1}}+\frac{2}{λ-3}×{3^{n-1}}）=λ•{c_{n-1}}$，
又${c_1}=3+\frac{6}{λ-3}=\frac{3（λ-1）}{λ-3}≠0$，
∴{c_n}是首項為$\frac{3（λ-1）}{λ-3}$，公比為λ的等比數(shù)列，${c_n}=\frac{3（λ-1）}{λ-3}•{λ^{n-1}}$﹒
（3）解：在（2）中，若λ=1，則c_n=0也適合，∴當(dāng)λ≠3時，${c_n}=\frac{3（λ-1）}{λ-3}•{λ^{n-1}}$．
從而由（1）和（2）可知：a_n=$\left\{\begin{array}{l}{（2n+1）×{3}^{n-1}，λ=3}\\{\frac{3（λ-1）}{λ-3}•{λ}^{n-1}-\frac{2}{λ-3}×{3}^{n}，λ≠3}\end{array}\right.$．
當(dāng)λ=3時，${b_n}=\frac{2n+1}{3}$，顯然不滿足條件，故λ≠3．
當(dāng)λ≠3時，${b_n}=\frac{λ-1}{λ-3}×{（\frac{λ}{3}）^{n-1}}-\frac{2}{λ-3}$．
若λ＞3時，$\frac{λ-1}{λ-3}＞0$，b_n＜b_n+1，n∈N^*，b_n∈[1，+∞），不符合，舍去．
若0＜λ＜1時，$\frac{λ-1}{λ-3}＞0$，$-\frac{2}{λ-3}＞0$，b_n＞b_n+1，n∈N^*，且b_n＞0．
∴只須${b_1}=\frac{a_1}{3}=1≤3$即可，顯然成立．故0＜λ＜1符合條件；
若λ=1時，b_n=1，滿足條件．故λ=1符合條件； 
若1＜λ＜3時，$\frac{λ-1}{λ-3}＜0$，$-\frac{2}{λ-3}＞0$，從而b_n＜b_n+1，n∈N^*，
∵b₁=1＞0．故${b_n}∈[1\;，-\frac{2}{λ-3}）$，要使b_n≤3成立，只須$-\frac{2}{λ-3}≤3$即可．
于是$1＜λ≤\frac{7}{3}$．  
綜上所述，所求實數(shù)λ的范圍是$（0\;，\frac{7}{3}]$．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、不等式的性質(zhì)，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．