Question

12．如圖，橢圓E：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1（0＜b＜2）$，點(diǎn)P（0，1）在短軸CD上，且$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}=-2$
（Ⅰ） 求橢圓E的方程及離心率；
（Ⅱ） 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)P的動(dòng)直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)．是否存在常數(shù)λ，使得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+λ\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$為定值？若存在，求λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為（0，-b），（0，b）．結(jié)合$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PD}$=-2列式求得b，則橢圓方程可求，進(jìn)一步求出c可得橢圓的離心率；
（Ⅱ）當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+1，A，B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得A，B橫坐標(biāo)的和與積$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$，可知當(dāng)λ=2時(shí)，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-7為定值．當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，直線AB即為直線CD，仍有$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$+2$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PD}$=-3-4=-7，故存在常數(shù)λ=2，使得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$為定值-7．

解答 解：（Ⅰ）由已知，點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為（0，-b），（0，b）．
又點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1），且$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PD}$=-2，即1-b²=-2，
解得b²=3．
∴橢圓E方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
∵c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=1，∴離心率e=$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+1，A，B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=kx+1\end{array}\right.$，得（4k²+3）x²+8kx-8=0．
其判別式△＞0，
x₁+x₂=$\frac{-8k}{{4{k^2}+3}}$，x₁x₂=$\frac{-8}{{4{k^2}+3}}$．
從而，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=x₁x₂+y₁y₂+λ[x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）]
=（1+λ）（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
=$\frac{{-8（{1+λ}）（{1+{k^2}}）-4{k^2}+3}}{{4{k^2}+3}}$=$\frac{4-2λ}{{4{k^2}+3}}$-2λ-3，
當(dāng)λ=2時(shí)，$\frac{4-2λ}{{4{k^2}+3}}$-2λ-3=-7，
即$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-7為定值．
當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，直線AB即為直線CD，
此時(shí)$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$+2$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PD}$=-3-4=-7，
故存在常數(shù)λ=2，使得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$為定值-7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了平面向量在求解圓錐曲線問題中的應(yīng)用，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．