Question

7．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ．
（Ⅰ）求直線l的普通方程與圓C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）點P、Q分別在直線l和圓C上運動，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （I）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得：直線l的普通方程．圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，利用互化公式可得圓C的直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ） 由平面幾何知識知：最小值為圓心C到l的距離減半徑，利用點到直線的距離公式可得圓心C到l的距離d．

解答 解：（I）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得：直線l的普通方程為x-y+1=0．
圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，利用互化公式可得圓C的直角坐標(biāo)方程：（x-1）²+y²=1．
（Ⅱ） 由平面幾何知識知：最小值為圓心C到l的距離減半徑，∵圓心到直線的距離$d=\frac{{|{1+1}|}}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$．
∴|PQ|的最小值為$\sqrt{2}-1$．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程、直線與圓的位置關(guān)系、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．