Question

19．已知a為實常數(shù)，f（x）=|x+2a|，f（x）＜4-2a的解集為{x|-4＜x＜0}．
（1）求a的值；
（2）若f（x）-f（-2x）≤x+m對任意實數(shù)x都成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1））解不等式|x+2a|＜4-2a，得到4-4a=0，求出a的值即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為m≥|x+2|-2|x-1|-x，令h（x）=|x+2|-2|x-1|-x，求出h（x）的最大值，從而求出m的范圍即可．

解答 解：（1）∵f（x）=|x+2a|，f（x）＜4-2a，
∴2a-4＜x+2a＜4-2a，
∴-4＜x＜4-4a，
∴4-4a=0，解得：a=1；
（2）由（1）得：f（x）=|x+2|，f（-2x）=|-2x+2|，
若f（x）-f（-2x）≤x+m對任意實數(shù)x都成立，
即m≥|x+2|-2|x-1|-x，
令h（x）=|x+2|-2|x-1|-x=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+4，x≥1}\\{2x，-2＜x＜1}\\{-4，x≤-2}\end{array}\right.$，
x≥1時，h（x）=-2x+4≤2，
-2＜x＜1時，h（x）∈（-4，2），
x≤-2時，h（x）=-4，
∴h（x）的最大值是2，
∴m≥2．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查函數(shù)恒成立以及分類討論思想，是一道中檔題．