Question

2．如圖，某房地產(chǎn)公司要在一塊矩形寬闊地面上開發(fā)物業(yè)，陰影部分是不能開發(fā)的古建筑群，且要求用在一條直線上的欄柵進(jìn)行隔離，古建筑群的邊界為曲線y=1-$\frac{4}{3}$x²的一部分，欄柵與矩形區(qū)域邊界交于點(diǎn)M，N．則△MON面積的最小值為$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)MN為曲線y=1-$\frac{4}{3}$x²的切線，切點(diǎn)為（m，n），由拋物線的方程，求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程可得切線的方程，分別令x=0，y=0可得M，N的坐標(biāo)，求得△MNO的面積，再由導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)區(qū)間和極小值，也為最小值，即可得到所求值．

解答 解：設(shè)MN為曲線y=1-$\frac{4}{3}$x²的切線，切點(diǎn)為（m，n），
可得n=1-$\frac{4}{3}$m²，y=1-$\frac{4}{3}$x²的導(dǎo)數(shù)為y′=-$\frac{8}{3}$x，
即有直線MN的方程為y-（1-$\frac{4}{3}$m²）=-$\frac{8}{3}$m（x-m），
令x=0，可得y=1+$\frac{4}{3}$m²，再令y=0，可得x=$\frac{3+4{m}^{2}}{8m}$（m＞0），
即有△MON面積為S=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{4}{3}$m²）•$\frac{3+4{m}^{2}}{8m}$=$\frac{9+16{m}^{4}+24{m}^{2}}{48m}$，
由S′=$\frac{1}{48}$（-$\frac{9}{{m}^{2}}$+48m²+24）=0，解得m=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)m＞$\frac{1}{2}$時(shí)，S′＞0，函數(shù)S遞增；當(dāng)0＜m＜$\frac{1}{2}$時(shí)，S′＜0，函數(shù)S遞減．
即有m=$\frac{1}{2}$處取得最小值，且為$\frac{2}{3}$．
故答案為：$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的面積的最值的求法，注意運(yùn)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線方程，再由單調(diào)性求最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．