Question

已知a，b為常數(shù)，且a≠0，f（x）=ax²+bx，f（2）=0，方程f（x）=x有兩個相等實(shí)根．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈[1，2]時，求f（x）的值域；
（3）若F（x）=f（x）-f（-x），試判斷F（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的值域,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）把f（2）=0代入解析式，f（x）=x有兩個相等實(shí)根，即判斷式等于零；
（2）根據(jù)（1）所求的解析式，判斷x∈[1，2]上的單調(diào)性，然后求解即可；
（3）根據(jù)奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行判斷和證明．

解答： 解：（1）已知f（x）=ax²+bx，
由f（2）=0，得4a+2b=0，即2a+b=0，①
方程f（x）=x，即ax²+bx=x，
即ax²+（b-1）x=0有兩個相等實(shí)根，
且a≠0，∴b-1=0，
∴b=1，代入①得a=-

1

2

．
∴f（x）=-

1

2

x²+x．
（2）由（1）知f（x）=-

1

2

（x-1）²+

1

2

．
顯然函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，
∴x=1時，y_max=

1

2

；x=2時，y_min=0．
∴x∈[1，2]時，函數(shù)的值域是[0，

1

2

]．
（3）∵F（x）=f（x）-f（-x）
=（-

1

2

x²+x）-[-

1

2

x²+（-x）]=2x，
定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴F（x）是奇函數(shù)．
證明：∵定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，
F（-x）=2（-x）=-2x=-F（x），
∴F（x）=2x是奇函數(shù)．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題，屬于中檔題．