Question

已知函數(shù)f（x）=

lnx

a2

-x．
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與x軸平行，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對一切正數(shù)x，都有f（x）≤-1恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求導數(shù)f′（x）=

1

a2x

-1，據(jù)題意k=f′（1）=0，解得a值，再在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（2）轉(zhuǎn)化為f（x）的最大值小于等于-1，構造函數(shù)可判斷a的取值范圍；

解答： 解：（1）∵f′（x）=

1

a2x

-1，
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為k=f′（1）=-1，
依題意

1

a2

-1=0，解得a=±1
當a=±1時，
∴f（x）=lnx-x，f′（x）=

1

x

-1，
令f′（x）=

1

x

-1=0，得x=1
當0＜x＜1時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當x＞1時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x） 單調(diào)遞減；
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1），減區(qū)間為（1，+∞）；      
（2）由f′（x）=

1

a2x

-1，令f′（x）=0，得x=

1

a2

．
當0＜x＜

1

a2

時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當x＞

1

a2

時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x） 單調(diào)遞減；
所以f（x）在x=

1

a2

處取得最大值

ln 1 a2

a2

-

1

a2

，
故對?x∈R⁺，f（x）≤-1恒成立，當且僅當對?a∈R⁺，

ln 1 a2

a2

-

1

a2

≤-1恒成立．
令

1

a2

=t，g（t）=tlnt-t，t＞0．則g′（t）=lnt，
當0＜t＜1時，g′（t）＜0，函數(shù)g（t）單調(diào)遞減；當t＞1時，g′（t）＞0，函數(shù)g（t）單調(diào)遞增；
所以g（t）在t=1處取得最小值-1，
因此，當且僅當

1

a2

=1，即a=±1，

ln 1 a2

a2

-

1

a2

≤-1恒成立．
故a的取值集合為{-1，1}

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、曲線上某點切線方程，考查函數(shù)的最值求解，考查分類討論思想，考查函數(shù)恒成立問題的解決，轉(zhuǎn)化函數(shù)最值是解決恒成立問題的常用方法．