Question

4．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=BC=AC=2，AB=2$\sqrt{2}$，D、E分別是的AB，BB₁的中點．
（Ⅰ）證明：BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ）求二面角D-A₁C-E的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)AC₁與A₁C相交于點F，連結(jié)DF，則BC₁∥DF，由此能證明BC₁∥平面A₁CD．
（2）以C為坐標原點，以直線CA，CB，CC₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系C-xyz，利用向量法能求出二面角的正弦值．

解答 證明：（Ⅰ）連結(jié)AC₁與A₁C相交于點F，連結(jié)DF，
∴F為AC₁ 的中點，
∵D為AB的中點，∴BC₁∥DF，…2分
∵BC₁?平面A₁CD，DF?平面A₁CD，
∴BC₁∥平面A₁CD． …4分
解：（2）以C為坐標原點，以直線CA，CB，CC₁分別為x，y，z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系C-xyz…5分
則C（0，0，0），D（1，1，0），A₁（2，0，2），E（0，2，1）
∴$\overrightarrow{C{A}_{1}}$=（2，0，2），$\overrightarrow{CD}$=（1，1，0），$\overrightarrow{CE}$=（0，2，1），…7分
設(shè)平面DA₁C的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{m}=2x+2z=0}\\{\overrightarrow{C{A}_{1}}•\overrightarrow{m}=x+y=0}\end{array}\right.$，令x=1，則$\overrightarrow{m}$=（1，-1，-1）…10分
同理可求平面A₁CE的一個法向量$\overrightarrow{n}$=（2，1，-2），
設(shè)二面角D-A₁C-E的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$…11分
sinθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
故二面角D-A₁C-E的正弦值是$\frac{\sqrt{6}}{3}$．…12分．

點評 本題考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．