Question

14．已知函數(shù)f（x）=ax²+2，g（x）=x³+bx，其中a，b都是常數(shù)．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）和曲線y=g（x）在它們交點（1，c）處具有公切線，求a，b的值；
（Ⅱ）當(dāng)a²=4b時，求函數(shù)f（x）-g（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在它們的交點（1，c）處具有公共切線，可知切點處的函數(shù)值相等，切點處的斜率相等，故可求a、b的值；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=ax²+2（a＞0），則f′（x）=2ax，k₁=2a，
g（x）=x³+bx，則g′（x）=3x²+b，k₂=3+b，
由（1，c）為公共切點，可得：2a=3+b  ①
又f（1）=a+2，g（1）=1+b，
∴a+2=1+b②，
由①②式可得：a=4，b=5；
（Ⅱ）a²=4b時，令F（x）=f（x）-g（x）=-x³+ax²-bx+2，
a²=4b⇒b=$\frac{{a}^{2}}{4}$，則F（x）=-x³+ax²-$\frac{{a}^{2}}{4}$x+2，
∴F′（x）=-3x²+2ax-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
（1）a=0時，F(xiàn)′（x）=-3x²≤0，F(xiàn)（x）在R遞減，
（2）a＞0時，令F′（x）＞0，解得$\frac{a}{6}$＜x＜$\frac{a}{2}$，令F′（x）＜0，解得：x＜$\frac{a}{6}$或x＞$\frac{a}{2}$，
∴F（x）在（-∞，$\frac{a}{6}$），（$\frac{a}{2}$，+∞）遞減，在（$\frac{a}{6}$，$\frac{a}{2}$）遞增，
（3）a＜0時，令F′（x）＞0，解得$\frac{a}{2}$＜x＜$\frac{a}{6}$，令F′（x）＜0，解得：x＞$\frac{a}{6}$或x＜$\frac{a}{2}$，
∴F（x）在（-∞，$\frac{a}{2}$），（$\frac{a}{6}$，+∞）遞減，在（$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{6}$）遞增．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．