Question

4．函數(shù)f（x）=3sin（ωx+$\frac{π}{4}$）+2（ω＞0）圖象的對稱中心和g（x）=2tan（$\frac{1}{2}$x+φ）+2圖象的對稱中心完全相同．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期T；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，0]上的最大值M和最小值m．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)題意，得出g（x）與f（x）的最小正周期相同，求出即可；
（Ⅱ）利用正弦函數(shù)的圖象與性質，即可求出f（x）在閉區(qū)間上的最值．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）圖象的對稱中心和g（x）圖象的對稱中心完全相同，
且g（x）圖象的最小正周期為$\frac{π}{\frac{1}{2}}$=2π，
∴f（x）的最小正周期T=2π，且ω=1；
（Ⅱ）∵f（x）=3sin（x+$\frac{π}{4}$）+2，
且當x∈[-$\frac{π}{2}$，0]時，x+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，
∴sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
∴3sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$]，
∴3sin（x+$\frac{π}{4}$）+2∈[2-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，2+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$]，
∴函數(shù)f（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值為M=2+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
最小值為m=2-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了正弦函數(shù)與正切函數(shù)的圖象與性質的應用問題，是基礎題目．