Question

6．設(shè)函數(shù)$f（x）=\frac{lnx}{x}$
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（2）比較1.71^2.71與2.71^1.71的大小，并說明理由
（3）證明當(dāng)x∈（0，2）時，$f（{x+1}）＜\frac{9x}{{{x^2}+7x+6}}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{{\sqrt{x+1}}}$．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；
（3）原不等式?ln（x+1）＜$\frac{9x}{x+6}$-$\sqrt{x+1}$+1，x∈（0，2），令g（x）=ln（x+1）+$\sqrt{x+1}$-$\frac{9x}{x+6}$-1，x∈（0，2），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 （1）解：f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，令f′（x）=0得x=e，
當(dāng)x∈（0，e）時f′（x）＞0，
當(dāng)x∈（e，+∞）時，f′（x）＜0，
∴f（x）的遞增區(qū)間為（0，e），遞減區(qū)間為（e，+∞），
f（x）_極大值=f（e）=$\frac{1}{e}$，無最小值；
（2）解：由（1）知f（x）在（0，e）上遞增，
而1.71＜2.71，∴$\frac{ln1.71}{1.71}$＜$\frac{ln2.71}{2.71}$，∴1.71^2.71＜2.71^1.71，
 （3）證明：原不等式?ln（x+1）＜$\frac{9x}{x+6}$-$\sqrt{x+1}$+1，x∈（0，2），
令g（x）=ln（x+1）+$\sqrt{x+1}$-$\frac{9x}{x+6}$-1，x∈（0，2），
則g′（x）=$\frac{{\frac{1}{2}（x+6）}^{3}-108（x+1）}{2（x+1{）（x+6）}^{2}}$，
令h（x）=$\frac{1}{2}$（x+6）³-108（x+1），x∈（0，2），
則h′（x）=$\frac{3}{2}$（x+6）²-108＜0，∴h（x）單調(diào)遞減，
∴h（x）＜h（0）=0，∴g′（x）＜0，
∴g（x）單調(diào)遞減，∴g（x）＜g（0）=0，
∴l(xiāng)n（x+1）＜$\frac{9x}{x+6}$-$\sqrt{x+1}$+1，
即$f（{x+1}）＜\frac{9x}{{{x^2}+7x+6}}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{{\sqrt{x+1}}}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查數(shù)的大小比較以及不等式的證明，是一道綜合題．