Question

16．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若${S_n}+n=\frac{3}{2}{a_n}$．
（Ⅰ）求證數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，并求a_n的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足${b_n}={a_n}+λ•{（-2）^n}$，且數(shù)列{b_n}是遞增數(shù)列，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用數(shù)列前n項(xiàng)和與等比數(shù)列的定義，即可證明數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，從而求出{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）寫出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，利用{b_n}是遞增數(shù)列，列出不等式組求出λ的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）證明：數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且${S_n}+n=\frac{3}{2}{a_n}$，
∴S_n-1+（n-1）=$\frac{3}{2}$a_n-1，n≥2，
∴S_n-S_n-1+1=$\frac{3}{2}$a_n-$\frac{3}{2}$a_n-1，n≥2，
即a_n+1=$\frac{3}{2}$a_n-$\frac{3}{2}$a_n-1，n≥2，
∴a_n=3a_n-1+2，n≥2，
∴a_n+1=3（a_n-1+1），n≥2，
∴$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n-1}+1}$=3為定值，
即數(shù)列{a_n+1}是公比q=3的等比數(shù)列；
又a₁+1=$\frac{3}{2}$a₁，
解得a₁=2，
∴a_n+1=（2+1）×3^n-1=3ⁿ，
∴通項(xiàng)公式為a_n=3ⁿ-1；
（Ⅱ）數(shù)列{b_n}中，${b_n}={a_n}+λ•{（-2）^n}$=3ⁿ-1+λ•（-2）ⁿ，
且數(shù)列{b_n}是遞增數(shù)列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{_{n}{＜b}_{n+1}}\\{_{n+1{＜b}_{n+2}}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{n}-1+λ{(lán)•（-2）}^{n}{＜3}^{n+1}-1+λ{(lán)•（-2）}^{n+1}}\\{{3}^{n+1}-1+λ{(lán)•（-2）}^{n+1}{＜3}^{n+2}-1+λ{(lán)•（-2）}^{n+2}}\end{array}\right.$，
化簡得$\left\{\begin{array}{l}{λ{(lán)•（-2）}^{n}＜\frac{2}{3}{×3}^{n}}\\{λ{(lán)•（-2）}^{n+1}＜\frac{2}{3}{×3}^{n+1}}\end{array}\right.$，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，$\frac{2}{3}$•${（-\frac{3}{2}）}^{n}$＜λ＜$\frac{2}{3}$•${（-\frac{3}{2}）}^{n+1}$，
n為偶數(shù)時(shí)，$\frac{2}{3}$•${（-\frac{3}{2}）}^{n+1}$＜λ＜$\frac{2}{3}$•${（-\frac{3}{2}）}^{n}$，
即得λ的取值范圍是-1＜λ＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式的應(yīng)用問題，也考查了前n項(xiàng)和的定義與不等式組的解法問題，是綜合性題目．