Question

16．已知等邊三角形ABC中，點(diǎn)P為線段AB上一點(diǎn)，且$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$（0≤λ≤1）．
（1）若等邊三角形邊長(zhǎng)為6，且λ=$\frac{1}{3}$，求|${\overrightarrow{CP}}$|；
（2）若$\overrightarrow{AP}$=$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{PB}$，求λ的值
（3）若$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{AB}$≥$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由λ=$\frac{1}{3}$，得$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，再由$|\overrightarrow{CP}{|}^{2}=|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AP}{|}^{2}$，展開后整理得答案；
（2）由$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AP}$=$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{PB}$聯(lián)立利用向量相等求得λ的值；
（3）設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為a，把$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$分別用含有a的代數(shù)式表示，結(jié)合$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{AB}$≥$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$求解關(guān)于a的不等式得答案．

解答 解：（1）由λ=$\frac{1}{3}$，得$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，
∴${|{\overrightarrow{CP}}|^2}={|{\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AP}}|^2}={|{\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}}|^2}={\overrightarrow{CA}^2}+\frac{1}{9}{\overrightarrow{AB}^2}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}$=28，
∴$|{\overrightarrow{CP}}|=2\sqrt{7}$；
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}\\ \overrightarrow{AP}=\frac{3}{5}\overrightarrow{PB}\end{array}\right.⇒\frac{3}{5}\overrightarrow{PB}=λ（{\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PB}}）=\frac{8λ}{5}\overrightarrow{PB}$，∴$λ=\frac{3}{8}$；
（3）設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為a，則$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{AB}=（{\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AP}}）•\overrightarrow{AB}=（{\overrightarrow{CA}+λ\overrightarrow{AB}}）•\overrightarrow{AB}=-\frac{1}{2}{a^2}+λ{(lán)a^2}$，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PA}•（{\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AP}}）=-λ\overrightarrow{AB}•（{\overrightarrow{AB}-λ\overrightarrow{AB}}）={λ^2}{a^2}-λ{(lán)a^2}$，
即$-\frac{1}{2}{a^2}+λ{(lán)a^2}≥{λ^2}{a^2}-λ{(lán)a^2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{{2-\sqrt{2}}}{2}≤λ≤\frac{{2+\sqrt{2}}}{2}\\ 0≤λ≤1\end{array}\right.$，解得$\frac{{2-\sqrt{2}}}{2}≤λ≤1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查計(jì)算能力，是中檔題．