Question

18．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）-b（ω＞0，0＜φ＜π）的圖象兩相鄰對(duì)稱軸之間的距離是$\frac{π}{2}$，若將f（x）的圖象先向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，再向上平移$\sqrt{3}$個(gè)單位，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)g（x）為奇函數(shù)．
（1）求f（x）的解析式及單調(diào)增區(qū)間；
（2）對(duì)任意$x∈[{0，\frac{π}{3}}]$，f²（x）-（2+m）f（x）+2+m≤0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對(duì)稱軸距離周期，從而得出ω，利用函數(shù)圖象變換和奇函數(shù)的性質(zhì)得出φ，從而得出f（x）的解析式，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得單調(diào)增區(qū)間；
（2）求出f（x）的值域，令f（x）=t，則關(guān)于t的不等式t²-（2+m）t+m+2≤0在[-$\sqrt{3}$，1-$\sqrt{3}$]上恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)列不等式得出m的范圍．

解答 解：（1）f（x）的周期T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{2}×2$=π，
∴ω=2，
∴g（x）=f（x-$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$=sin（2x-$\frac{π}{3}$+φ）-b+$\sqrt{3}$．
∵g（x）是奇函數(shù)，0＜φ＜π，
∴φ=$\frac{π}{3}$，b=$\sqrt{3}$，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$，
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，
解得-$\frac{5π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{π}{12}$+kπ，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[-$\frac{5π}{12}$+kπ，$\frac{π}{12}$+kπ]，k∈Z．
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{3}$]，∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，π]，
∴f（x）∈[-$\sqrt{3}$，1-$\sqrt{3}$]，
令f（x）=t，則關(guān)于t的不等式t²-（2+m）t+m+2≤0在[-$\sqrt{3}$，1-$\sqrt{3}$]上恒成立，
∵t²-（2+m）t+m+2=0的根為t=1，或t=m+2．
∴m+2≤-$\sqrt{3}$，即m≤-2-$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．