Question

設(shè)等比數(shù)列{a_n}的首項為a₁=2，公比為q（q為正整數(shù)），且滿足3a₃是8a₁與a₅的等差中項；數(shù)列{b_n}滿足2n²-（t+b_n）n+

3

2

b_n=0（t∈R，n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）試確定t的值，使得數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列；
（3）當{b_n}為等差數(shù)列時，對每個正整數(shù)k，在a_k與a_k+1之間插入b_k個2，得到一個新數(shù)列{c_n}．設(shè)T_n是數(shù)列{c_n} 的前n項和，是否存在m，使得T_m=1180成立？若存在求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的應(yīng)用,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用已知條件求出公比，然后求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）利用已知條件求出b_n的表達式，數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，即可求出t的值；
（3）首先求出在數(shù)列{b_n}中，a_m及其前面所有項之和，然后求出a₉＜1180＜a₁₀，再求出又a₁₀在數(shù)列{b_n}中的項數(shù)，進而求出m的值．

解答： 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的首項為a₁=2，公比為q（q為正整數(shù)），且滿足3a₃是8a₁與a₅的等差中項；
可得：6a₃=8a₁+a₅，6×2q²=8×2+2×q⁴，解得q=2．
∴an=2n…4分
（2）數(shù)列{b_n}滿足2n²-（t+b_n）n+

3

2

b_n=0（t∈R，n∈N^*）．
得bn=

2n2-tn

n- 3 2

，所以b₁=2t-4，b₂=16-4t，b₃=12-2t，
則由b₁+b₃=2b₂，得t=3…8分
當t=3時，b_n=2n，由b_n-b_n-1=2，所以數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列…10分
（3））∵an=2n
∴在數(shù)列{b_n}中，a_k=2^k．a(chǎn)_k+1=2^k+1．
對每個正整數(shù)k，在a_k與a_k+1之間插入b_k個2，可得一個新數(shù)列{c_n}．設(shè)T_n是數(shù)列{c_n} 的前n項和，
在數(shù)列{b_n}中，a_m及其前面所有項之和為[2+2²+…+2^m-1+2^m]+（2×2+2×4+…+4m）=2m²+2^m+1+
2m．
∵2×9²+2⁹+2×9=692＜1180＜2×10²+2¹⁰+2×10=1244，即a₉＜1180＜a₁₀．
存在m，使得T_m=1180，
存在m=9+（b₁+b₂+…+b₈）+8=9+2+4+6+8+10+14+16+8=89      …16分．

點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式以及數(shù)列與不等式的綜合，綜合性強，難度較大．對于不等式恒成立問題通過轉(zhuǎn)化成函數(shù)最值問題來解決．