Question

【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，為橢圓短軸的一個端點(diǎn)，、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，線段的延長線與橢圓相交于點(diǎn)，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖，點(diǎn)為橢圓上一動點(diǎn)（非長軸端點(diǎn)），的延長線與橢圓交于點(diǎn)，的延長線與橢圓交于點(diǎn)，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)橢圓短軸頂點(diǎn)求得；結(jié)合，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足橢圓方程，結(jié)合，求得，則橢圓方程即可求解；

（2）根據(jù)直線斜率是否存在，進(jìn)行分類討論；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理，求得弦長，求得到直線的距離，即可求得到直線的距離，利用面積公式，結(jié)合均值不等式，即可容易求得面積的最值.

（1）設(shè)橢圓的方程為，右焦點(diǎn)，

因為為橢圓短軸的一個端點(diǎn)，則.

因為，

故可得，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，

即，解得.

則點(diǎn).

因為點(diǎn)在橢圓上，則，即.

又，則，得，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時，不

妨取，，，

故；

②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，

，，

聯(lián)立方程，化簡得，

則，

，，

，

點(diǎn)到直線的距離，

因為是線段的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到直線的距離為，

∴，

∵，又，所以等號不成立.

∴，

綜上可得，面積的最大值為.