Question

2．已知正數(shù)a，b滿足$\frac{1}{a}$+$\frac{9}$=1，若不等式a+b≥-x²+4x+18-m對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． [3，+∞）
• B． （-∞，3]
• C． （-∞，6]
• D． [6，+∞）

Answer 1

分析 利用基本不等式求得a+b的最小值，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為m≥-x²+4x+2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，再利用配方法求出-x²+4x+2的最大值得答案．

解答 解：∵a＞0，b＞0，且$\frac{1}{a}$+$\frac{9}$=1，
∴a+b=（a+b）（$\frac{1}{a}+\frac{9}$）=10+$\frac{a}+\frac{9a}$$≥10+2\sqrt{\frac{a}•\frac{9a}}=16$．
當(dāng)且僅當(dāng)3a=b，即a=4，b=12時(shí)，（a+b）_min=16．
若不等式a+b≥-x²+4x+18-m對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，
則-x²+4x+18-m≤16，即m≥-x²+4x+2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，
∵-x²+4x+2=-（x-2）²+6≤6，
∴m≥6．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[6，+∞）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查恒成立問(wèn)題，考查利用基本不等式求最值，訓(xùn)練了分離變量法求字母的取值問(wèn)題，是中檔題．