Question

7．已知函數(shù)f（x）=log₂（1+x）-log₂（1-x）．
（1）求f（x）的定義域；
（2）試判斷f（x）的奇偶性，并證明；
（3）求使f（x）=0的x取值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義可得$\left\{\begin{array}{l}{1+x＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$，解得即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義證明判斷即可；
（3）代值計算即可．

解答 解：（1）∵f（x）=log₂（1+x）-log₂（1-x），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+x＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$，解得-1＜x＜1，
故函數(shù)的定義域為（-1，1）
（2）由函數(shù)知x∈（-1，1）
且$f（-x）={log_2}\frac{1-x}{1+x}$=${log_2}{（\frac{1+x}{1-x}）^{-1}}$=${log_2}（\frac{1+x}{1-x}）$=-f（x）
∴f（x）在其定義域上是奇函數(shù)．
（3）f（x）=0即${log_2}\frac{1+x}{1-x}={log_2}1$，
∴$\frac{1+x}{1-x}=1$得x=0
經(jīng)檢驗x=0符合題意，
∴x=0．

點評 本題考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．