Question

已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿足S₃-3a₁-2a₂=0，若存在兩項(xiàng)a_n•a_m使得

aman

=4a1，則

1

m

+

4

n

的最小值是（　�。�

• A、9
• B、

  9

  5

• C、

  3

  2

• D、

  4

  3

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由題意可得數(shù)列的公比q=2，由通項(xiàng)公式易得

1

6

（m+n）=1，進(jìn)而可得

1

m

+

4

n

=

1

6

（

1

m

+

4

n

）（m+n）=

1

6

（5+

n

m

+

4m

n

），由基本不等式可得．

解答： 解：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，則q＞0，
∵S₃-3a₁-2a₂=0，∴a₁+a₂+a₃-3a₁-2a₂=0，
∴a₃-2a₁-a₂=0，∴a₁q²-2a₁-a₁q=0，
消去a₁可解得q=2，或q=-1（舍去），
又∵存在兩項(xiàng)a_n•a_m使得

aman

=4a1，
∴a_m•a_n=16a₁²，∴a₁²q^m+n-2=16a₁²，
∴q^m+n-2=16，即2^m+n-2=16，
∴m+n-2=4，∴

1

6

（m+n）=1，
∴

1

m

+

4

n

=

1

6

（

1

m

+

4

n

）（m+n）
=

1

6

（5+

n

m

+

4m

n

）≥

1

6

（5+2

m n • 4m n

）=

3

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)

n

m

=

4m

n

即m=2且n=4時(shí)取等號(hào)，
∴

1

m

+

4

n

的最小值是

3

2

故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式，涉及基本不等式的應(yīng)用，屬中檔題．