Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

2

，點P（

3

，

1

2

）在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點P(

6

5

，0)作直線l分別交橢圓C于A、B兩點，求證：以線段AB為直徑的圓恒過橢圓C的右頂點．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用離心率，橢圓方程，以及abc的關(guān)系，即可求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）設(shè)橢圓C的右頂點為Q，由（Ⅰ）知，Q點坐標(biāo)為（2，0），當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程，將直線的方程代入橢圓方程

x2

4

+y2=1，通過△＞0，設(shè)A點坐標(biāo)為（x_A，y_A），B點坐標(biāo)為（x_B，y_B），結(jié)合韋達(dá)定理以及向量的數(shù)量積，判斷直線垂直．即可得到以AB為直徑的圓經(jīng)過橢圓C的右頂點Q．當(dāng)直線的斜率不存在時，判斷以AB為直徑的圓經(jīng)過橢圓C的右頂點．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得

c

a

=

3

2

，

3

a2

+

( 1 2 )2

b2

=1，
a²=b²+c²
解得a=2，b=1，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y2=1…（4分）
（Ⅱ）設(shè)橢圓C的右頂點為Q，由（Ⅰ）知，Q點坐標(biāo)為（2，0）…（5分）
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為y=k(x-

6

5

)，
將直線的方程為y=k(x-

6

5

)，代入橢圓方程

x2

4

+y2=1
整理可得

x2

4

+[k(x-

6

5

)]2=1，
即（25+100k²）x²-240k²x+144k²-100=0…（6分）
∵△＞0設(shè)A點坐標(biāo)為（x_A，y_A），B點坐標(biāo)為（x_B，y_B），
則A(xA，k(xA-

6

5

))，B(xB，k(xB-

6

5

))
所以xA+xB=

240k2

25+100k2

，xAxB=

144k2-100

25+100k2

…（7分）
∵

QA

=(2-xA，-yA)，

QB

=(2-xB，-yb)，
∴

QA

•

QB

=(2-xA)•(2-xB)+yA•yB…（8分）
=4-2xA-2xB+xAxB+k2(xA-

6

5

)(xB-

6

5

)
=4-(2+

6

5

k2)

240k2

25+100k2

+(1+k2)

144k2-100

25+100k2

+

36

25

k2=4-

400k2+100

25+100k2

=0，
∴

QA

⊥

QB

即以AB為直徑的圓經(jīng)過橢圓C的右頂點Q．…（10分）
當(dāng)直線的斜率不存在時，A(

6

5

，

4

5

)，B(

6

5

，-

4

5

)，

QA

⊥

QB

符合題意．
故以AB為直徑的圓經(jīng)過橢圓C的右頂點．…（12分）．

點評：本題考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用，橢圓的方程的求法，考查分析問題解決問題的能力．