Question

3．下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，2）上遞增的是（　�。�

• A． y=log_0.5（x+1）
• B． $y={log_2}\sqrt{{x^2}-1}$
• C． $y={log_2}\frac{1}{x}$
• D． $y={log_{\frac{1}{2}}}（5-4x+{x^2}）$

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可判斷選項A，C的正誤，通過求函數(shù)定義域，即可判斷選項B的函數(shù)在區(qū)間（0，2）上無意義，從而判斷B錯誤，而根據(jù)二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷選項D的函數(shù)在區(qū)間（0，2）上的單調(diào)性，從而便可找出正確選項．

解答 解：A．x∈（0，2），x增大時，x+1增大，log_0.5（x+1）減小，即y減小，∴該函數(shù)在（0，2）上遞減，∴該選項錯誤；
B．函數(shù)$y=lo{g}_{2}\sqrt{{x}^{2}-1}$的定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞）；
∴該函數(shù)在（0，2）上無意義，∴該選項錯誤；
C．x∈（0，2），x增大時，$\frac{1}{x}$減小，y減小，∴該函數(shù)在（0，2）上遞減，∴該選項錯誤；
D．t=5-4x+x²在x∈（0，2）上遞減，且$y=lo{g}_{\frac{1}{2}}t$在t∈（1，5）上為減函數(shù)；
∴復(fù)合函數(shù)$y=lo{g}_{\frac{1}{2}}（5-4x+{x}^{2}）$在（0，2）上遞增，∴該選項正確．
故選D．

點評 考查對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)單調(diào)性的定義，以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷，函數(shù)定義域的求法．