Question

11．已知函數(shù)f（x）=lnx+ax²+bx（x＞0，a∈R，b∈R），
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為x-2y-2=0，求f（x）的極值；
（Ⅱ）若b=1，是否存在a∈R，使f（x）的極值大于零？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f（1），f′（1），得到關(guān)于a，b的方程組，解出即可求出f（x）的表達(dá)式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出函數(shù)f（x）的極值即可；
（Ⅱ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而確定a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）依題意，$f'（x）=\frac{1}{x}+2ax+b$，f'（1）=1+2a+b-----（1分）
又由切線方程可知，$f（1）=-\frac{1}{2}$，斜率$k=\frac{1}{2}$，
所以$\left\{\begin{array}{l}f'（1）=1+2a+b=\frac{1}{2}\\ f（1）=a+b=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}a=0\\ b=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$，所以$f（x）=lnx-\frac{x}{2}$-----（4分）
所以$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{2}=\frac{2-x}{2x}（x＞0）$，
當(dāng)x＞0時，x，f'（x），f（x）的變化如下：

x	（0，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	極大值	↘

所以f（x）_極大值=f（2）=ln2-1，無極小值．-----（6分）
（Ⅱ）依題意，f（x）=lnx+ax²+x，所以$f'（x）=\frac{1}{x}+2ax+1=\frac{{2a{x^2}+x+1}}{x}（x＞0）$
①當(dāng)a≥0時，f'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，故無極值；----（7分）
②當(dāng)a＜0時，令f'（x）=0，得2ax²+x+1=0，則△=1-8a＞0，且兩根之積${x_1}{x_2}=\frac{1}{2a}＜0$，
不妨設(shè)x₁＜0，x₂＞0，則$f'（x）=\frac{{2a（x-{x_1}）（x-{x_2}）}}{x}$，即求使f（x₂）＞0的實數(shù)a的取值范圍．-----（8分）
由方程組$\left\{\begin{array}{l}2ax_2^2+{x_2}+1=0\\ ln{x_2}+ax_2^2+{x_2}＞0\end{array}\right.$消去參數(shù)a后，得$ln{x_2}+\frac{{{x_2}-1}}{2}＞0$，----（9分）
構(gòu)造函數(shù)$g（x）=lnx+\frac{x-1}{2}$，則$g'（x）=\frac{1}{x}+\frac{1}{2}＞0$，所以g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
又g（1）=0，所以g（x）＞0解得x＞1，即${x_2}=\frac{{-1-\sqrt{1-8a}}}{4a}＞1$，解得-1＜a＜0．
由①②可得，a的范圍是-1＜a＜0．------（12分）

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．