Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-ax-5，}&{（x≤1）}\\{\frac{a}{x}，}&{（x＞1）}\end{array}\right.$在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-2]
• B． [-2，0）
• C． [-3，0）
• D． [-3，-2]

Answer 1

分析 根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-ax-5，}&{（x≤1）}\\{\frac{a}{x}，}&{（x＞1）}\end{array}\right.$在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，二次函數(shù)開口向下，∴$（-∞，-\frac{2a}）$是增函函，故得對稱軸x=-$\frac{a}{2}$≥1，那么反比例函數(shù)$\frac{a}{x}$在（1，+∞）必然是增函數(shù)．從而求解a的取值范圍．

解答 解：由題意：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-ax-5，}&{（x≤1）}\\{\frac{a}{x}，}&{（x＞1）}\end{array}\right.$在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，
∴二次函數(shù)-x²-ax-5，開口向下，∴$（-∞，-\frac{2a}）$是增函函，故得對稱軸x=-$\frac{a}{2}$≥1，解得：a≤-2．
反比例函數(shù)$\frac{a}{x}$在（1，+∞）必然是增函數(shù)，則：a＜0；
又∵函數(shù)f（x）是增函數(shù)，
則有：$\frac{a}{1}≥-（1）^{2}-a×1-5$，解得：a≥-3．
所以：a的取值范圍[-3，-2]．
故選D．

點評 本題考查了分段函數(shù)的單調(diào)性問題．要抓住定義域入手，利用增函數(shù)的性質(zhì)來求解．屬于中檔題．