Question

9．在下列給出的命題中，所有正確命題的序號為②③④．
①若$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$＞0，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為銳角；
②對?x，y∈R，若x+y≠0，則x≠1，或y≠-1；
③若實(shí)數(shù)x，y滿足x²+y²=1，則$\frac{y}{x+2}$的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
④函數(shù)f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{2π}{3}$，0）對稱．

Answer 1

分析 ①當(dāng)＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=0滿足條件，但結(jié)論不成立，
②根據(jù)逆否命題的等價性進(jìn)行判斷，
③根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系進(jìn)行判斷，
④根據(jù)三角函數(shù)的對稱性進(jìn)行判斷．

解答 解：①當(dāng)＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=0時，滿足$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|cos0=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|＞0，但$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為不是銳角；故①錯誤，
②對?x，y∈R，若x+y≠0，則x≠1，或y≠-1的等價條件是若x=1且y=-1時，則x+y=0，為真命題．，
則命題的逆否命題也為真命題，故②正確，
③若實(shí)數(shù)x，y滿足x²+y²=1，則設(shè)k=$\frac{y}{x+2}$，即y=kx+2k，kx-y+2k=0，
則滿足圓心到直線的距離d=$\frac{|2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$≤1，
即|2k|≤$\sqrt{1+{k}^{2}}$，平方得4k²≤1+k²，則k²≤$\frac{1}{3}$，則-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤k≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$\frac{y}{x+2}$的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$正確，故③正確；
④∵f（$\frac{2π}{3}$）=3sin（2×$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{3}$）=3sinπ=0，
∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{2π}{3}$，0）對稱．故④正確，
故答案為：②③④

點(diǎn)評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，但難度不大．