Question

4．點O是△ABC所在平面內的一點（O不在直線BC上），若$\overrightarrow{OA}$=3$\overrightarrow{OB}$+$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{OC}$，則△ABC與△OBC的面積之比為（　�。�

• A． $\frac{5}{2}$
• B． $\frac{7}{3}$
• C． $\frac{7}{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 連接OA，交BC于P，根據(jù)三點共線設$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OB}+（1-x）\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OA}=t\overrightarrow{OP}$=xt$\overrightarrow{OB}$+t（1-x）$\overrightarrow{OC}$，利用平面向量的基本定理列方程組解得t即可得出AP，OP的數(shù)量關系，從而得出三角形的面積比．

解答 解：連接OA，交BC于P，
∵B，P，C三點共線，不妨設$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OB}+（1-x）\overrightarrow{OC}$，
又A，P，O三點共線，設$\overrightarrow{OA}=t\overrightarrow{OP}$=xt$\overrightarrow{OB}$+t（1-x）$\overrightarrow{OC}$，
∵$\overrightarrow{OA}$=3$\overrightarrow{OB}$+$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{OC}$
∴$\left\{\begin{array}{l}{xt=3}\\{t（1-x）=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得t=$\frac{9}{2}$．
∴O在AP的延長線上．
∴AP=$\frac{7}{2}$OP．
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△OBC}}=\frac{AP}{OP}$=$\frac{7}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查了平面向量的基本定理，向量線性運算的幾何意義，屬于中檔題．