Question

5．已知f（x）=e^x-x．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若對?x≥0，恒有f（x）≥ax²+1，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f′（x）=e^x-1，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能討論f（x）的單調(diào)性．
（2）令g（x）=e^x-1-x-ax²，則?x≥0，有g(shù)（x）≥0，由g（0）=0，得?m＞0，使得g（x）在（0，m）上單調(diào)遞增，由此能求出a的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=e^x-x，
∴f′（x）=e^x-1，
當(dāng)x＞0時，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x＜0時，f′（x）＜0，∴f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減．
（2）∵對?x≥0，恒有f（x）≥ax²+1，
∴e^x-x-ax²-1≥0，
令g（x）=e^x-1-x-ax²，則?x≥0，有g(shù)（x）≥0，
∵g（0）=0，∴?m＞0，使得g（x）在（0，m）上單調(diào)遞增，
∴在（0，t）上，g''（0）=1-2a≥0，解得a$≤\frac{1}{2}$．
下面證明：當(dāng)a$≤\frac{1}{2}$時，?x≥0，恒有g(shù)（x）≥0．
證明：由（1）得?x≥0，有f（x）≥f（0）=0，
∴當(dāng)x∈[0，+∞）時，e^x-1≥x，且僅當(dāng)x=0時，等號成立，
∴當(dāng)x≥0時，g′（x）=e^x-1-2ax≥x-2ax=2x（$\frac{1}{2}-a$）≥0，
且僅當(dāng)x=0時，等號成立，
∴g（x）在[0，+∞）遞增，
∴當(dāng)x∈[0，+∞）時，g（x）≥g（0）=0．
綜上，a的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{2}$]．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)的討論，考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．