Question

7．在平面直角坐標系中，已知曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l過極坐標系內的兩點A（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）和B（3，$\frac{π}{2}$）．
（1）寫出曲線C和直線l的直角坐標系中的普通方程；
（2）若P是曲線C上任意一點，求△ABP面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數），利用平方關系可得曲線C的普通方程．由極坐標A（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）和B（3，$\frac{π}{2}$），可得直角坐標：A（2，2），B（0，3），利用點斜式即可得出方程．
（2）由題意可設$P（2cosθ，\sqrt{3}sinθ）$，則點P到直線AB的距離d=$\frac{{|{4sin（θ+\frac{π}{6}）-6}|}}{{\sqrt{5}}}≥\frac{2}{{\sqrt{5}}}$，即可得出△ABP面積最小值．

解答 解：（1）曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數），
利用平方關系可得：曲線C的普通方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
由極坐標A（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）和B（3，$\frac{π}{2}$），
可得直角坐標：A（2，2），B（0，3）．
∴直線的方程為：$y=\frac{2-3}{2-0}$x+3，化為x+2y-6=0．
（2）由題意可設$P（2cosθ，\sqrt{3}sinθ）$，則
點P到直線AB的距離$d=\frac{{|{2cosθ+2\sqrt{3}sinθ-6}|}}{{\sqrt{5}}}$=$\frac{{|{4sin（θ+\frac{π}{6}）-6}|}}{{\sqrt{5}}}≥\frac{2}{{\sqrt{5}}}$，
當$sin（θ+\frac{π}{6}）=1$時取得最小值，
∵$|{AB}|=\sqrt{5}$，
∴△ABP面積的最小值為$\frac{1}{2}×\sqrt{5}$×$\frac{2}{\sqrt{5}}$=1．

點評 本題考查了參數方程化為普通方程、極坐標與直角坐標互化、點到直線的距離公式、和差公式、三角函數的單調性與值域，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．