Question

6．y=x+$\sqrt{9-{x}^{2}}$的值域?yàn)閇-3，3$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)的定義域，設(shè)x=3cosθ，0≤θ≤π利用換元法轉(zhuǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合三角函數(shù)的輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求解即可．

解答 解：由9-x²≥0得x²≤9，得-3≤x≤3，
設(shè)x=3cosθ，0≤θ≤π，
則y=x+$\sqrt{9-{x}^{2}}$=3cosθ+$\sqrt{9-9cos^2θ}$=3cosθ+3sinθ=3$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），
∵0≤θ≤π，
∴$\frac{π}{4}$≤θ+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，
則-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin（θ+$\frac{π}{4}$）≤1，
-3≤3$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）≤3$\sqrt{2}$，
即-3≤y≤3$\sqrt{2}$，
則函數(shù)的值域?yàn)閇-3，3$\sqrt{2}$]，
故答案為：[-3，3$\sqrt{2}$]

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)值域的計(jì)算，利用三角換元法轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題，利用輔助角公式結(jié)合三角函數(shù)的有界性是解決本題的關(guān)鍵．