【題目】設(shè)整數(shù)模2014互不同余，整數(shù)模2014也互不同余.證明：可將重新排列為，使得模4028互不同余.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

記.不妨設(shè)

.

對(duì)每個(gè)整數(shù)，若

，

則令；

否則，令.

若為前一種情形， 則

.

若為后一種情形，則

.

若不然，有

，

.

上面兩式相加得

.

于是，.

但模2014（=2k）互不同余，特別地，，矛盾.

由上述構(gòu)造方法知模4k互不同余.即只需證明結(jié)論：對(duì)任意整數(shù)，模4k兩兩不同余.

注意到，前面的構(gòu)造方式已保證

. ①

[情形1]，且.

則由前面的構(gòu)造方式知

，

.

由于，故易知與及模2k不同余，與及模2k不同余，從而，模4k更不同余，再結(jié)合式①，結(jié)論得證.

[情形2]，且.

則由前面的構(gòu)造方式知

，

.

同樣有與及模2k不同余，與及模2k不同余.

與情形1相同知結(jié)論得證.

[情形3] ，且（，且的情形與此相同）.

則由前面的構(gòu)造方式知

，

.

由于k為奇數(shù)，則.

故.

因此，與及模2k不同余，與及模2k不同余.從而，結(jié)論得證.

綜上，本題得證.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（1）求證：平面平面；

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根據(jù)該等高條形圖，完成下列2×2列聯(lián)表，并用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法分析，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為喜歡娛樂(lè)節(jié)目A與觀(guān)眾性別有關(guān)？

喜歡節(jié)目A

不喜歡節(jié)目A

總計(jì)

男性觀(guān)眾

女性觀(guān)眾

總計(jì)

60

附：

0.100

0.050

0.010

0.001

2.706

3.841

6.635

10.828

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(I)畫(huà)散點(diǎn)圖可以看出，z與x有很強(qiáng)的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)求出z與x的線(xiàn)性回歸方程(回歸系數(shù)精確到0.01)；

(II)求y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)某輛該款汽車(chē)當(dāng)使用年數(shù)為10年時(shí)售價(jià)約為多少．

參考公式：

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