【題目】設(shè)整數(shù)模2014互不同余，整數(shù)模2014也互不同余.證明：可將重新排列為，使得模4028互不同余.

【答案】見解析

【解析】

記.不妨設(shè)

.

對(duì)每個(gè)整數(shù)，若

，

則令；

否則，令.

若為前一種情形， 則

.

若為后一種情形，則

.

若不然，有

，

.

上面兩式相加得

.

于是，.

但模2014（=2k）互不同余，特別地，，矛盾.

由上述構(gòu)造方法知模4k互不同余.即只需證明結(jié)論：對(duì)任意整數(shù)，模4k兩兩不同余.

注意到，前面的構(gòu)造方式已保證

. ①

[情形1]，且.

則由前面的構(gòu)造方式知

，

.

由于，故易知與及模2k不同余，與及模2k不同余，從而，模4k更不同余，再結(jié)合式①，結(jié)論得證.

[情形2]，且.

則由前面的構(gòu)造方式知

，

.

同樣有與及模2k不同余，與及模2k不同余.

與情形1相同知結(jié)論得證.

[情形3] ，且（，且的情形與此相同）.

則由前面的構(gòu)造方式知

，

.

由于k為奇數(shù)，則.

故.

因此，與及模2k不同余，與及模2k不同余.從而，結(jié)論得證.

綜上，本題得證.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖，是半圓的直徑，，為圓周上一點(diǎn)，平面，，，，.

（1）求證：平面平面；

（2）在線段上是否存在點(diǎn)，且使得平面？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）若函數(shù)，，是否存在實(shí)數(shù)m，使得的最小值為2，若存在，請(qǐng)求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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根據(jù)該等高條形圖，完成下列2×2列聯(lián)表，并用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法分析，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為喜歡娛樂節(jié)目A與觀眾性別有關(guān)？

喜歡節(jié)目A

不喜歡節(jié)目A

總計(jì)

男性觀眾

女性觀眾

總計(jì)

60

附：

0.100

0.050

0.010

0.001

2.706

3.841

6.635

10.828

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【題目】已知函數(shù).

（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；

（2）若在上的最小值為3，求實(shí)數(shù)的值以及相應(yīng)的的值.

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【題目】某二手車直賣網(wǎng)站對(duì)其所經(jīng)營(yíng)的一款品牌汽車的使用年數(shù)x與銷售價(jià)格y(單位：萬元，輛)進(jìn)行了記錄整理，得到如下數(shù)據(jù)：

(I)畫散點(diǎn)圖可以看出，z與x有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)求出z與x的線性回歸方程(回歸系數(shù)精確到0.01)；

(II)求y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)某輛該款汽車當(dāng)使用年數(shù)為10年時(shí)售價(jià)約為多少．

參考公式：

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(1)求M∩P＝{x|5<x≤8}的充要條件；

(2)求實(shí)數(shù)a的一個(gè)值，使它成為M∩P＝{x|5<x≤8}的一個(gè)充分但不必要條件．

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