Question

已知函數(shù)f（x）=e^x，g（x）=mx+n．
（1）設(shè)h（x）=f（x）-g（x）．
①若函數(shù)h（x）在x=0處的切線過(guò)點(diǎn)（1，0），求m+n的值；
②當(dāng)n=0時(shí)，若函數(shù)h（x）在（-1，+∞）上沒(méi)有零點(diǎn)，求m的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)r（x）=

1

f(x)

+

nx

g(x)

，且n=4m（m＞0），求證：當(dāng)x≥0時(shí)，r（x）≥1．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得到結(jié)論．
（2）求出r（x）的表達(dá)式，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可．

解答： 解：（1）①h（x）=f（x）-g（x）=e^x-mx-n．
則h（0）=1-n，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=e^x-m，
則f′（0）=1-m，則函數(shù)在x=0處的切線方程為y-（1-n）=（1-m）x，
∵切線過(guò)點(diǎn)（1，0），∴-（1-n）=1-m，即m+n=2．
②當(dāng)n=0時(shí)，h（x）=f（x）-g（x）=e^x-mx．
若函數(shù)h（x）在（-1，+∞）上沒(méi)有零點(diǎn)，
即e^x-mx=0在（-1，+∞）上無(wú)解，
若x=0，則方程無(wú)解，滿足條件，
若x≠0，則方程等價(jià)為m=

ex

x

，
設(shè)g（x）=

ex

x

，
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′（x）=

ex(x-1)

x2

，
若-1＜x＜0，則g′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，則g（x）＜g（-1）=-e^-1，
若x＞0，由g′（x）＞0得x＞1，
由g′（x）＜0，得0＜x＜1，即當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得極小值，同時(shí)也是最小值，此時(shí)g（x）≥g（1）=e，
綜上g（x）≥e或g（x）＜-e^-1，
若方程m=

ex

x

無(wú)解，則-e^-1≤m＜e．
（2）∵n=4m（m＞0），
∴函數(shù)r（x）=

1

f(x)

+

nx

g(x)

=

1

ex

+

nx

mx+n

=

1

ex

+

4x

x+4

，
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)r′（x）=-

1

ex

+

16

(x+4)2

=

16ex-(x+4)2

ex(x+4)2

，
設(shè)h（x）=16e^x-（x+4）²，
則h′（x）=16e^x-2（x+4）=16e^x-2x-8，
[h′（x）]′=16e^x-2，
當(dāng)x≥0時(shí)，[h′（x）]′=16e^x-2＞0，則h′（x）為增函數(shù)，即h′（x）＞h′（0）=16-2=14＞0，
即h（x）為增函數(shù)，∴h（x）≥h（0）=16-16=0，
即r′（x）≥0，即函數(shù)r（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
故r（x）≥r（0）=

1

e0

+0=1，
故當(dāng)x≥0時(shí)，r（x）≥1成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，在判斷函數(shù)的單調(diào)性的過(guò)程中，多次使用了導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵，難度較大．