雙曲線C的焦點分別為F1（-2
2
，0），F(xiàn)2（2
2
，0），且雙曲線C經(jīng)過點P（4
2
，2
7
）．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設O為坐標原點，若點A在雙曲線C上，點B在直線x=
2
上，且
OA
•
OB
=0，是點O為圓心的定圓恒與直線AB相切？若存在，求出該圓的方程，若不存在，請說明理由．
考點：直線與圓錐曲線的關系,雙曲線的標準方程
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）設雙曲線方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1，由已知得
32
a2
-
28
b2
=1，b2=8-a2，由此能求出雙曲線C的方程．
（2）設點A，B的坐標分別為（x0，y0），（
2
，t），其中x0＞2，或x0＜-2．當y0≠t時，直線AB的方程為（y0-t）x-（x0-
2
）y+tx0-
2
y0=0，由此利用點到直線距離公式、弦長公式、韋達定理，利用已知條件能求出圓的方程．
解答： 解：（1）依題意知雙曲線C的焦點在x軸，設其方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1，（1分）
∵點P（4
2
，2
7
）在雙曲線C上，
∴
32
a2
-
28
b2
=1，①
又b2=8-a2，②
②代入①去分母整理得：a4-68a2+32×8=0，
又a＜c，解得a2=4，b2=4，（3分）
∴所求雙曲線C的方程為
x2
4
-
y2
4
=1．（4分） 
（2）設點A，B的坐標分別為（x0，y0），（
2
，t），其中x0＞2，或x0＜-2．（5分）
當y0≠t時，直線AB的方程為y-t=
y0-t
x0-
2
（x-
2
），
即（y0-t）x-（x0-
2
）y+tx0-
2
y0=0，（6分），
若存在以點O為圓心的定圓與AB相切，則點O到直線AB的距離必為定值，
設圓心O到直線AB的距離為d，則d=
|tx0-
2
y0|
(y0-t)2+(x0-
2
)2
．（7分）
∵y0≠0，∴t=-
2
x0
y0
，（8分）
又x02-y02=4，∴d=
|-
2
x02
y0
-
2
y0|
(y0+
2
x0
y0
)2+x02-2
2
x02+2
=
2
2
|
y02+2
y0
|
2y04+8y02+8
2y02

=
2
2
|
y02+2
y0
|
2(y02+2)2
y02
=
2
2
•|
y02+2
y0
|
2
|
y02+2
y0
|
=2，（11分）
此時直線AB與圓x2+y2=4相切，（12分）
當y0=t時，x0=-
t2
2
，代入雙曲線C的方程并整理得t4-2t2-8=0，
即（t2-4）（t2+2）=0，解得t=±2，
此時直線AB：y=±2．也與圓x2+y2=4也相切．（13分）
綜上得存在定圓x2+y2=4與直線AB相切．（14分）
點評：本題考查雙曲線方程的求法，考查滿足條件的圓是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意點到直線距離公式、弦長公式、韋達定理的合理運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對應邊分別為a，b，c，已知a=csinB+bcosC，b=
2
，則△ABC面積的最大值為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設全集U=R，集合P={x|-2≤x≤2}，M={x|x2-2x-3≤0}，則（∁UP）∩M等于（　�。�
A、{x|-2≤x≤2}
B、{x|2＜x≤3}
C、{x|2≤x≤3}
D、{x|-1＜x≤3}

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB1⊥BC1，CA1⊥BC1．求證：AB1=CA1．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（文科做）如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=4，AB=2，E，F(xiàn)分別在BC，AD上，EF∥AB現(xiàn)將四邊形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF⊥平面EFDC．
（1）設BE=x，問當x為何值時，三棱錐A-CDF的體積有最大值？并求出這個最大值．
（2）當BE=1，是否在折疊后的AD上存在一點P，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出AP的長，若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓x2+y2=9上一定點A（3，0），P為圓上的動點，求線段AP中點的軌跡方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex，g（x）=mx+n．
（1）設h（x）=f（x）-g（x）．
①若函數(shù)h（x）在x=0處的切線過點（1，0），求m+n的值；
②當n=0時，若函數(shù)h（x）在（-1，+∞）上沒有零點，求m的取值范圍；
（2）設函數(shù)r（x）=
1
f(x)
+
nx
g(x)
，且n=4m（m＞0），求證：當x≥0時，r（x）≥1．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知F1、F2是橢圓
x2
4
+
y2
3
=1的兩個焦點，P是橢圓上一點且∠F1PF2=30°，則△PF1F2的面積是
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
sinx，x∈[0，2]
1
2
f(x-2)，x∈(2，+∞)
有下列說法：
①函數(shù)f（x）對任意x1，x2∈[0，+∞），都有|f（x1）-f（x2）|≤2成立
②函數(shù)f（x）在[
1
2
（4n-3），
1
2
（4n-1）]（n∈N•）上單調(diào)遞減；
③函數(shù)y=f（x）-log2x+1在（0，+∞）上有3個零點；
④當k∈[
8
7
，+∞）時，對任意x＞0，不等式f（x）≤
k
x
都成立．
其中正確的說法的個數(shù)是（　�。�
A、4B、3C、2D、1

查看答案和解析>>

同步練習冊答案