11.已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和,${a_1}=2,2{S_n}=(n+1){a_n}+n-1.(n∈{N^*})$
(1)求數(shù)列{an}的通項公式.
(2)若數(shù)列bn滿足:$\frac{{a}_{1}}{\sqrt{_{1}+1}}$+$\frac{{a}_{2}}{\sqrt{_{2}+1}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{\sqrt{_{n}+1}}$=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$(n∈N*),不等式M≤anbn+2對任意n∈N*恒成立,求實數(shù)M的取值范圍.

分析 (1)利用定義法求數(shù)列{an}的通項公式.
(2)利用定義法求數(shù)列{bn}的通項公式,設(shè)F(n)=anbn+2=2-$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{(n+2)^{2}}$,顯然,F(xiàn)(n)在n∈N*單調(diào)遞增.結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求實數(shù)M的取值范圍.

解答 解:(1)∵2Sn=(n+1)an+n-1,①
∴2Sn-1=nan-1+n-2,②.
由①-②得:2an=(n+1)an+nan-1+1,③
∴2an+1=(n+2)an+(n+1)an+1+1,④
由④-③得:nan-1+nan+1=2nan即an-1+an+1=2an,
∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列.
又∵2S2=3a1+1,a1=2,
∴a2=3,d=1,
∴an=n+1;
(2)∵$\frac{{a}_{1}}{\sqrt{_{1}+1}}$+$\frac{{a}_{2}}{\sqrt{_{2}+1}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{\sqrt{_{n}+1}}$=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$(n∈N*),①
∴$\frac{{a}_{1}}{\sqrt{_{1}+1}}$+$\frac{{a}_{2}}{\sqrt{_{2}+1}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{\sqrt{_{n-1}+1}}$=$\frac{(n-1)^{2}+n-1}{2}$(n∈N*),②
由①-②得:$\frac{{a}_{n}}{\sqrt{_{n}+1}}$=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$-$\frac{(n-1)^{2}+n-1}{2}$=n⇒bn=$\frac{2n+1}{{n}^{2}}$(n∈N*).
即F(n)=anbn+2=$\frac{(n+1)(2n+5)}{(n+2)^{2}}$=$\frac{2{n}^{2}+7n+5}{(n+2)^{2}}$=$\frac{2(n+2)^{2}-(n+2)-1}{(n+2)^{2}}$=2-$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{(n+2)^{2}}$,
顯然,F(xiàn)(n)在n∈N*單調(diào)遞增.
∴F(n)≥F(1)=$\frac{14}{9}$,
∴M≤$\frac{14}{9}$.

點評 本題目主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項公式,解題中要注意等比數(shù)列的通差公式的應(yīng)用.

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(1)求數(shù)列{an}的通項公式.
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