Question

9．命題p：x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}2x+3y-6≤0\\ 2x+y-2≥0\\ x≤2\end{array}\right.$，q：x²+y²＞r²（r＞0），若p是q的充分不必要條件，則r的取值范圍是（0，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）．

Answer 1

分析 畫出滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}2x+3y-6≤0\\ 2x+y-2≥0\\ x≤2\end{array}\right.$的平面區(qū)域，分析出可行域內(nèi)x²+y²的取值范圍，結(jié)合p是q的充分不必要條件，即可得到r²的取值范圍，進而得到r的取值范圍．

解答 解：滿足條件p：$\left\{\begin{array}{l}2x+3y-6≤0\\ 2x+y-2≥0\\ x≤2\end{array}\right.$的平面區(qū)域如右圖所示：
當圓與直線2x+y-2=0相切時，r取得最大值，
由原點到直線2x+y-2=0的距離為$\frac{|2|}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
若p是q的充分不必要條件，則r＜$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
即r∈（0，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$），
故答案為：（0，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）．

點評 本題考查的知識點是充要條件及簡單線性規(guī)劃的應用，其中根據(jù)線性規(guī)劃的方法，判斷出滿足約束條件p的x²+y²的取值范圍，是解答本題的關鍵．