Question

已知函數(shù)f（x）=（log 

1

4

x）²-log 

1

4

x+5．
（1）判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及其在每個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值、最小值及相應(yīng)的x值．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及其在每個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值、最小值及相應(yīng)的x值．

解答： 解：（1）設(shè)t=log 

1

4

x，則函數(shù)f（x）等價(jià)為y=g（t）=t²-t+5=（t-

1

2

）²+

19

4

．
則函數(shù)y=g（t）的增區(qū)間為[

1

2

，+∞）．減區(qū)間為（-∞，

1

2

]，
∵t=log 

1

4

x為減函數(shù)，
∴由t=log 

1

4

x≥

1

2

，解得0＜x≤

1

2

，即此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，即減區(qū)間為（0，

1

2

]，
由t=log 

1

4

x≤

1

2

，解得x≥

1

2

，即此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，增區(qū)間為[

1

2

，+∞）．
（2）當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，則當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值f（2）=（log 

1

4

2）²-log 

1

4

2+5=

1

4

+

1

2

+5=

23

4

．
當(dāng)x=4時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值f（4）=（log 

1

4

4）²-log 

1

4

4+5=1+1+5=7．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷以及函數(shù)最值和單調(diào)性的關(guān)系，利用換元法結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)和一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．