【題目】已知函數(shù)的圖象與軸相切．

（1）求的值．

（2）求證：．

（3）若，求證：．

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）先設(shè)切點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義列方程組，解得結(jié)果；

（2）先化簡(jiǎn)不等式為，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值，根據(jù)最大值證不等式；

（3）先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，利用（2）證，最后利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)性與最值，根據(jù)最值證得不等式.

（1）解：設(shè)切點(diǎn)，則即∴．

（2）證明：∵，∴等價(jià)于．

設(shè)，則．

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．

∴，即，∴．

（3）證明：設(shè)，．

由，得．

由（2）得，當(dāng)時(shí)， ，所以當(dāng)時(shí)，得．

當(dāng)時(shí)， ，以代換，得，有，

所以當(dāng)時(shí)，得，

∴當(dāng)時(shí)，有．

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．

又∵，∴當(dāng)時(shí)，，即．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.

（Ⅰ）求直線的直角坐標(biāo)方程與曲線的普通方程；

（Ⅱ）已知點(diǎn)設(shè)直線與曲線相交于兩點(diǎn)，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某手機(jī)生產(chǎn)企業(yè)為了對(duì)研發(fā)的一批最新款手機(jī)進(jìn)行合理定價(jià)，將該款手機(jī)按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到單價(jià)（單位：千元）與銷量（單位：百件）的關(guān)系如下表所示：

單價(jià)（千元）

1

1.5

2

2.5

3

銷量（百件）

10

8

7

6

已知.

（Ⅰ）若變量，具有線性相關(guān)關(guān)系，求產(chǎn)品銷量（百件）關(guān)于試銷單價(jià)（千元）的線性回歸方程；

（Ⅱ）用（Ⅰ）中所求的線性回歸方程得到與對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品銷量的估計(jì)值，當(dāng)銷售數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的殘差滿足時(shí)，則稱為一個(gè)“好數(shù)據(jù)”，現(xiàn)從5個(gè)銷售數(shù)據(jù)中任取3個(gè)，求其中“好數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考公式：，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，雙曲線的離心率為，點(diǎn)在雙曲線上，不在軸上的動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且四邊形的周長(zhǎng)為.

(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

(2)過點(diǎn)的直線交的軌跡于，兩點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且滿足，其中，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．

（1）若，求直線與曲線的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)在曲線上，且到直線距離的最大值為，求直線的斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如圖所示，圓柱表面上的點(diǎn)在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，圓柱表面上的點(diǎn)在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則在此圓柱側(cè)面上，從到的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為（ ）

A. B. C. D. 2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)點(diǎn)為拋物線外一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，．

（Ⅰ）若點(diǎn)為，求直線的方程；

（Ⅱ）若點(diǎn)為圓上的點(diǎn)，記兩切線，的斜率分別為，，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】平面上兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿（為常數(shù)）．

（Ⅰ）說明動(dòng)點(diǎn)的軌跡（不需要求出軌跡方程）；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，過的直線與交于兩點(diǎn)，已知點(diǎn)，證明：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】把方程表示的曲線作為函數(shù)的圖象，則下列結(jié)論正確的是（ ）

①在R上單調(diào)遞減

②的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

③的圖象上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值為3

④函數(shù)不存在零點(diǎn)

A.①③B.①②③C.①③④D.①②③④

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