Question

4．已知P（x₀，y₀）（x₀≠±a）是橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上一點，M，N分別是橢圓E的左、右頂點，直線PM、PN的斜率之積為-$\frac{1}{4}$．
（1）求橢圓E的離心率；
（2）過橢圓E的左焦點且斜率為1的直線交橢圓E于A，B兩點，O為坐標原點，點C為橢圓E上一點，且滿足$\overrightarrow{OC}$=$λ\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OB}$（λ≠0），求λ的值．

Answer 1

分析 （1）由已知得$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{^{2}}=1$，$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}=-\frac{1}{4}$，由此能求出橢圓E的離心率e的值；
（2）聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4{y}^{2}=4^{2}}\\{y=x+c}\end{array}\right.$，得5x²+8cx+8b²=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），由此利用韋達定理、點差法，結(jié)合已知條件能求出λ值．

解答 解：（1）∵P（x₀，y₀）（x₀≠a）是橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上一點，
∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{^{2}}=1$，
∵M，N分別是橢圓E的左、右頂點，直線PM，PN的斜率的乘積等于-$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}=-\frac{1}{4}$，
∴a²=4b²，c²=3b²，
得e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4{y}^{2}=4^{2}}\\{y=x+c}\end{array}\right.$，
得5x²+8cx+8b²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8c}{5}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{8^{2}}{5}$，
再設C（x₃，y₃），
由$\overrightarrow{OC}$=$λ\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OB}$，得x₃=λx₁+x₂，y₃=λy₁+y₂，
由于C為橢圓上的點，即${{x}_{3}}^{2}+4{{y}_{3}}^{2}=4^{2}$，
則（λx₁+x₂）²+4（λy₁+y₂）²=4b²，
整理得：${λ}^{2}（{{x}_{1}}^{2}+4{{y}_{1}}^{2}）+（{{x}_{2}}^{2}+4{{y}_{2}}^{2}）+2λ$（x₁x₂+4y₁y₂）=4b² ①，
由于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在橢圓上，即${{x}_{1}}^{2}+4{{y}_{1}}^{2}=4^{2}，{{x}_{2}}^{2}+4{{y}_{2}}^{2}=4^{2}$，
又x₁x₂+4y₁y₂=x₁x₂+4（x₁+c）（x₂+c）
=5x₁x₂+4c（x₁+x₂）+4c²
=$5•\frac{8^{2}}{5}+4c（-\frac{8c}{5}）+4{c}^{2}$=$8^{2}-\frac{12{c}^{2}}{5}=\frac{4^{2}}{5}$，
代入①得$4^{2}{λ}^{2}+4^{2}+2λ•\frac{4^{2}}{5}=4^{2}$，
即${λ}^{2}+\frac{2}{5}λ=0$，
解得：λ=0，或λ=-$\frac{2}{5}$．

點評 本題考查橢圓E的離心率e的求法，考查直線與橢圓位置關系的應用，訓練了向量法在求解圓錐曲線問題中的應用，考查運算能力，是中檔題．