Question

20．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²+n，數(shù)列{b_n}滿足：b_n=$\sqrt{{2^{a_n}}}$．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令c_n=a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2，則當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n，即可求得b_n；
（2）利用“錯(cuò)位相減法”即可求得數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）由${S_n}={n^2}+n$得：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n，
由于a₁=2也滿足a_n=2n，故a_n=2n（n∈N⁺）；
由${b_n}=\sqrt{{2^{a_n}}}$=$\sqrt{{2}^{2n}}$=2ⁿ，（n∈N⁺）．
（2）由（1）可知：c_n=a_nb_n=2n•2ⁿ，
所以${T_n}=2×1×{2^1}+2×2×{2^2}+2×3×{2^3}+…+（2n）•{2^n}$，①
$2{T_n}=2×1×{2^2}+2×2×{2^3}+2×3×{2^4}+…+（2n）•{2^{n+1}}$，②
②-①得${T_n}=2×n×{2^{n+1}}-2×（{2^1}+{2^2}+{2^3}+…+{2^n}）$=（n-1）•2ⁿ⁺²+4，
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．