Question

10．已知在（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{2\root{3}{x}}$）ⁿ（n∈N^*）的展開(kāi)式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，那么其展開(kāi)式中共有3項(xiàng)是有理項(xiàng)．

Answer 1

分析 寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，由第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)求得n=10，再由$\frac{10-2r}{3}$為整數(shù)求得r值，則答案可求．

解答 解：（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{2\root{3}{x}}$）ⁿ（n∈N^*）的展開(kāi)式的通項(xiàng)${T}_{r+1}={C}_{n}^{r}（\root{3}{x}）^{n-r}•（-\frac{1}{2\root{3}{x}}）^{r}$=$（-\frac{1}{2}）^{r}•{C}_{n}^{r}•{x}^{\frac{n-2r}{3}}$．
∵第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，∴$\frac{n-10}{3}=0$，得n=10．
要使$（-\frac{1}{2}）^{r}•{C}_{n}^{r}•{x}^{\frac{n-2r}{3}}$為有理項(xiàng)，則$\frac{10-2r}{3}$為整數(shù)，
∴當(dāng)r=2，5，8時(shí)，$\frac{10-2r}{3}$為整數(shù)，
∴展開(kāi)式中共有3項(xiàng)是有理項(xiàng)．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，理解有理項(xiàng)的概念是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．